前言：这篇博客是由于我没活整所以决定写的，意在总结一下做量子力学习题可能会用到的一些常用公式（某人：做题蛆闹麻了【你已经被我预判到了】），至于之后应该会结合各类教材以及个人的理解出个《简明量子力学教程》的系列博客，正如Feynman所言"What I cannot create, I do not understand"。当然会不会真的写就看后人智慧了（笑）

 此外，个人整理的公式不一定全，也不一定有逻辑顺序，我是想到什么就写什么的，没有按常见的章节分类，完全按我一时兴起的分类，所以这只是初版，日后可能会做些许改动与增补。

可能会常用的数学公式

1. 三角函数：

$$sinx = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

$$cosx = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$

$$sin \alpha cos \beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta)+sin(\alpha - \beta)]$$

$$cos \alpha sin \beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta)]$$

$$cos \alpha cos \beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta)+cos(\alpha - \beta)]$$

$$sin \alpha sin \beta = -\frac{1}{2}[cos(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \beta)]$$

2. 积分公式：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty}x^2 e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2a} \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$

$$\int_{0}^{+\infty}x^{n}e^{-\alpha x}dx=\frac{n!}{\alpha ^{n+1}}$$

$$\int_{0}^{+\infty}x^{2n}e^{-\beta x^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\frac{\pi}{\beta ^{2n+1}}}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin ^n x dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos ^n x dx= \begin{cases} \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot ... \frac{2}{3} \cdot 1 \qquad n为奇数\\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdot ... \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \qquad n为偶数 \end{cases}$$

3. 泰勒展开：

$$\sqrt{1+x} = \sum_{n}(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{2n!!}x^n =1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - ...$$

$$e^x = \sum_{n}\frac{1}{n!}x^n = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + ...$$

$$sinx = \sum_{n}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}= x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - ...$$

$$cosx = \sum_{n}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}= 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - ...$$

$$ln(1+x)=\sum_{n}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}= x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - ...$$

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n}x^n = 1 + x + x^2 + ...$$

$$\frac{1}{1+x}=\sum_{n}(-1)^n x^n =1 - x + x^2 - ...$$

Schrödinger方程

1. 含时Schrödinger方程：

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi (r,t)=\hat{H}\Psi (r,t)\\$$

其中：$\hat{H}=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\nabla ^2 + V(r,t)$

2. 定态Schrödinger方程：

$$\hat{H}\Psi (r)=E\Psi (r)$$

3. 时间演化算符：

$$\hat{U}=e^{-iEt/ \hbar}$$

4. 概率流密度：

$$J=-\frac{i\hbar}{2\mu}[\psi ^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi ^*]$$

常见势场

1. 一维无限深势阱（三维作简单乘积即可）：

$$V(x)= \begin{cases} 0 \qquad 0 < x < a \\ \infty \qquad else \\ \end{cases}$$

其定态能量与波函数为：

$$E_n = \frac{n^2 \pi ^2 \hbar ^2}{2 \mu a^2} \qquad n=1,2,3...$$

$$\psi _n (x)= \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}}sin \frac{n \pi x}{a} \qquad 0 < x < a \\ 0 \qquad else\\ \end{cases}$$

2. 一维谐振子势 $V(x)=\frac{1}{2}\mu \omega ^2 x^2 $ 的定态能量与波函数为（三维同理作简单乘积即可）：

$$E_n = (n + \frac{1}{2})\hbar \omega \qquad n=0,1,2,3...$$

$$\ket{n}=N_n e^{-\alpha ^2 x^2 /2}H_n (\alpha x)$$

其中

$$\alpha = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}} , N_n =\sqrt{\frac{\alpha}{\pi ^{1/2}2^n n!}} \qquad n=0,1,2,3...$$

例：

$$\ket{0} = (\frac{\mu \omega}{\pi \hbar})^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{\mu \omega}{2\hbar}x^2}$$

3. 一维 $\delta $ 势场 $V(x) = A \delta (x-a) $ ,其一阶导数不满足连续条件，存在阶跃条件：

$$\psi ^{'}(a^{+})- \psi ^{'}(a^{-})=\frac{2\mu A}{\hbar ^2}\psi (a)$$

4. 平面转子能量与波函数：

$$E_m = \frac{m^2 \hbar ^2}{2\mu r^2} = \frac{m^2 \hbar^2}{2I}$$

$$\psi _m (\varphi)=\sqrt{\frac{1}{2\pi}}e^{im \varphi}$$

5. 中心力场（A.T.Field！）中定态波函数可表示为：

$$\psi (r) = R(r) Y_{lm}(\theta \varphi)=\frac{u(r)}{r}Y_{lm}(\theta \varphi)$$

其中径向部分 $u(r)$ 满足方程：

$$[-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\frac{d^2}{dr^2} + \frac{l(l+1)\hbar ^2}{2\mu r^2} + V(r)]u(r) = Eu(r)$$

角向部分的前几个球谐函数为：

$$Y_{00}=\frac{1}{\sqrt{4\pi}},Y_{11}=-\sqrt{\frac{1}{8\pi}}sin \theta e^{i \varphi},Y_{1-1}=\sqrt{\frac{3}{8\pi}}sin \theta e^{-i \varphi},Y_{10}=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}cos \theta$$

6. 电荷为q的粒子在电磁场中的 $\hat{H}$ 为：

$$\hat{H}=\frac{1}{2\mu}[\hat{p}- \frac{q}{c}A(r,t)]^2 + q\varPhi (r,t)$$

7. 类氢势场 $V(r)=-\frac{Ze^2}{r}$ 的定态能量（就写个基态，后面懒得写了自己找吧）与定态波函数为：

$$E_n = -\frac{Z^2 e^2}{2an^2}$$

$$\psi = \sqrt{\frac{Z^3}{\pi a^3}}e^{-\frac{Zr}{a}}$$

其中a为玻尔半径 $a=\frac{\hbar ^2}{\mu e^2}$

常见定理

1. Hellmann–Feynman定理：

$$\frac{\partial E_n}{\partial \lambda}=\bra{\psi _n} \frac{\partial \hat{H}}{\partial \lambda} \ket{\psi _n}$$

2. Virial定理：

$$2<T>=<r \cdot \nabla V(r)>$$

3. Ehrenfest定理（即Heisenberg绘景中取期望）：

$$\frac{d}{dt}<\hat{H}>=\frac{1}{i\hbar}<[\hat{A},\hat{H}]> + <\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}>$$

常见对易关系

1. B-H恒等式：

$$e^{\hat{A}}\hat{B}e^{-\hat{A}}=\hat{B}+[\hat{A},\hat{B}]+\frac{1}{2!}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]+\frac{1}{3!}[\hat{A}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]]+...$$

2. 常见对易

$$[f(x),\hat{p}]=i \hbar \frac{d f(x)}{dx}$$

$$[x,f(\hat{p})]=i \hbar \frac{d f(p)}{dp}$$

$$[\hat{L_{\alpha}},\hat{L_{\beta}}]=i\hbar \varepsilon _{\alpha , \beta , \gamma} \hat{L_{\gamma}}$$

$$[\hat{S_{\alpha}},\hat{S_{\beta}}]=i\hbar \varepsilon _{\alpha , \beta , \gamma} \hat{S_{\gamma}}$$

$$[\hat{\sigma _{\alpha}},\hat{\sigma _{\beta}}]=2i \varepsilon _{\alpha , \beta , \gamma} \hat{\sigma _{\gamma}}$$

$$[\hat{L_{\alpha}},\hat{p_{\beta}}]=i\hbar \varepsilon _{\alpha , \beta , \gamma} \hat{p_{\gamma}}$$

$$[\hat{p},\hat{H}]=-i\hbar \frac{\partial V(x)}{\partial x}$$

$$[\hat{x},\hat{H}]=-i\hbar \frac{\hat{p}}{\mu}$$

$$[r_{\alpha},\hat{p_{\alpha}}]=i\hbar$$

一维谐振子升降算符

1. 降算符与升算符定义：

$$\hat{a}=\frac{1}{2\mu \omega \hbar}(m \omega \hat{x} + i\hat{p}) , \hat{a^{\dagger}}=\frac{1}{2\mu \omega \hbar}(m \omega \hat{x} - i\hat{p})$$

2. 对易关系：

$$[a,a^{\dagger}]=1$$

3. 升降作用：

$$a^{\dagger}\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1}$$

$$a\ket{n}=\sqrt{n}\ket{n-1}$$

4. Hamiltonian可表示为：

$$\hat{H}=(\hat{N}+\frac{1}{2})\hbar \omega ,其中\hat{N}=a^{\dagger}a为厄米算符$$

5. 递推关系（其中 $\alpha = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}}$ ）：

$$x \ket{n} = \frac{1}{\alpha} (\sqrt{\frac{n}{2}} \ket{n-1} + \sqrt{\frac{n+1}{2}} \ket{n+1} )$$

$$\frac{d}{dx} \ket{n} = \frac{1}{\alpha} (\sqrt{\frac{n}{2}} \ket{n-1} - \sqrt{\frac{n+1}{2}} \ket{n+1} )$$

$$x^2 \ket{n} = \frac{1}{\alpha ^2}[\frac{\sqrt{n(n-1)}}{2}\ket{n-2} + (n+\frac{1}{2})\ket{n} + \frac{\sqrt{(n+1)(n+2)}}{2}\ket{n+2}]$$

$$\frac{d^2}{dx^2} \ket{n} = \frac{\alpha ^2}{2}[\sqrt{n(n-1)}\ket{n-2} - (2n+1)\ket{n} + \sqrt{(n+1)(n+2)}\ket{n+2}]$$

角动量算符

1. 角动量升降算符定义与衍生：

$$\hat{L_{\pm}} = \hat{L_x} + i \hat{L_y}$$

$$\hat{L_x}=\frac{1}{2}(\hat{L_+} + \hat{L_-}),\hat{L_y}=\frac{1}{2i}(\hat{L_+} - \hat{L_-})$$

$$\hat{L^2}=\hat{L_-} \hat{L_+} + \hbar \hat{L_z} + \hat{L_z^2}$$

2. 角动量算符与球谐函数的关系：

$$\hat{L^2}Y_{lm}= l(l+1)\hbar ^2 Y_{lm}$$

$$\hat{L_z}Y_{lm}=m \hbar Y_{lm}$$

$$\hat{L_{\pm}}Y_{lm}=\hbar \sqrt{l(l+1)-m(m \pm 1)} Y{lm \pm 1}$$

$$cos\theta Y_{lm}=\alpha Y_{l+1m} + \beta Y_{l-1m}$$

3. 角动量算符的矩阵表示（在l=1的 $\{L^2,L_z\}$ 表象下）：

$$\hat{L_x}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \hat{L_y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \\ \end{pmatrix} \hat{L_z}=\hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

4. 角动量算符的本征值与本征矢：

$$l_x =\hbar,\psi _+ =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1\\ \end{pmatrix} l_x =0,\psi _0 =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\ \end{pmatrix} l_x =-\hbar,\psi _- =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \\ 1\\ \end{pmatrix}$$

$$l_y =\hbar,\psi _+ =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2i} \\ -1\\ \end{pmatrix} l_y =0,\psi _0 =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ \end{pmatrix} l_y =-\hbar,\psi _- =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2i} \\ 1\\ \end{pmatrix}$$

$$l_z =\hbar,\psi _+ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} l_z =0,\psi _0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} l_z =-\hbar,\psi _- = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{pmatrix}$$

自旋角动量算符

1. 电子的自旋算符矩阵表示（ $S_z$ 表象下）：

$$\hat{S_x} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \hat{S_y} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \hat{S_z} = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

2. 泡利矩阵（ $\sigma _z$ 表象下）：

$$\sigma _x= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \sigma _y= \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \sigma _z= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$$

满足广义Euler公式：

$$e^{i\alpha \hat{\sigma _j}}=cos \alpha +i\hat{\sigma _j}sin\alpha , \hat{\sigma _j^2}=1$$

满足关系：

$$[\hat{\sigma _{\alpha}},\hat{\sigma _{\beta}}]=2i \varepsilon _{\alpha , \beta , \gamma} \hat{\sigma _{\gamma}}$$

$$\hat{\sigma _{\alpha}}\hat{\sigma _{\beta}}=-\hat{\sigma _{\beta}}\hat{\sigma _{\alpha}}=i\varepsilon _{\alpha \beta \gamma}\hat{\sigma _{\gamma}}$$

3. 自旋角动量的本征值与本征矢：

$$s_z = \frac{\hbar}{2} , \psi _+ = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} s_z = -\frac{\hbar}{2} , \psi _- = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$$

$$s_x = \frac{\hbar}{2} , \varphi _+ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} s_x = -\frac{\hbar}{2} , \varphi _- =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix}$$

$$s_y = \frac{\hbar}{2} , \phi _+ = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ \end{pmatrix} s_y = -\frac{\hbar}{2} , \phi _- =\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -i \\ \end{pmatrix}$$

4. 自旋投影算符的矩阵形式：

$$\hat{S_n}=\frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta e^{-i \varphi} \\ sin\theta e^{i \varphi} & -cos\theta \\ \end{pmatrix}$$

5. 自旋投影算符的本征值与本征矢：

$$s_n = \frac{\hbar}{2},\psi _+ = \begin{pmatrix} cos\frac{\theta}{2}e^{-i \varphi /2} \\ sin\frac{\theta}{2}e^{i \varphi /2} \\ \end{pmatrix} s_n = -\frac{\hbar}{2},\psi _- = \begin{pmatrix} -sin\frac{\theta}{2}e^{-i \varphi /2} \\ cos\frac{\theta}{2}e^{i \varphi /2} \\ \end{pmatrix}$$

6. 轨道/自旋角动量耦合：

$$\hat{J^2}=\hat{L^2} + \hat{S^2} + 2\hat{L}\hat{S} =\hat{L^2} + \frac{3}{4}\hbar ^2 + 2\hat{L} \cdot \hat{S}$$

$$\hat{L} \cdot \hat{S} =\frac{1}{2}(\hat{J^2}-\hat{L^2}-\frac{3}{4}\hbar ^2)$$

7. 两个自旋1/2耦合为三重态与单态：

$$\ket{11}=\ket{\uparrow \uparrow}$$

$$\ket{1-1}=\ket{\downarrow \downarrow}$$

$$\ket{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow \downarrow} + \ket{\downarrow \uparrow} )$$

$$\ket{00}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow \downarrow} - \ket{\downarrow \uparrow} )$$

占有数算符

1. 对玻色子体系：

$$[a_i,a_j^{\dagger}]=\delta _{ij},[a_i,a_j]=[a_i^{\dagger},a_j^{\dagger}]=0 ,i、j=1,2...$$

由对易关系可知$\hat{N_i}=a_i^{\dagger}a_i$的本征值$n_i =0,1,2...$

$$a_i \ket{n_i}=\sqrt{n_i}\ket{n_i -1}$$

$$a_i^{\dagger} \ket{n_i}=\sqrt{n_i +1}\ket{n_i +1}$$

$$a_i \ket{n_1 n_2 ... n_i ...}=\sqrt{n_i}\ket{n_1 n_2 ... n_i -1 ...}$$

$$a_i^{\dagger} \ket{n_1 n_2 ... n_i ...}=\sqrt{n_i +1}\ket{n_1 n_2 ... n_i +1 ...}$$

2. 对费米子体系：

$$\{a_i,a_j^{\dagger}\}=a_i a_j^{\dagger}+a_j^{\dagger}a_i=\delta _{ij},\{a_i,a_j\}=\{a_i^{\dagger},a_j^{\dagger}\}=0,i、j=1,2...$$

由反对易关系可知$\hat{N_i}=a_i^{\dagger}a_i$的本征值$n_i =0,1$

$$a_i \ket{n_i}=\sqrt{n_i}\ket{n_i -1}$$

$$a_i^{\dagger} \ket{n_i}=\sqrt{1-n_i}\ket{n_i +1}$$

$$a_i \ket{n_1 n_2 ... n_i ...}=(-1)^m \sqrt{n_i} \ket{n_1 n_2 ... n_i -1 ...}$$

$$a_i^{\dagger} \ket{n_1 n_2 ... n_i ...}=(-1)^m \sqrt{1-n_i}\ket{n_1 n_2 ... n_i +1 ...}$$

$$m=\sum_{\alpha = 1}^{i-1}n_{\alpha}$$

近似方法

1. 定态非简并微扰论（能量至三级修正，波函数至一级修正）：

$$E_n^{(1)}=\bra{\psi _n^{(0)}}H^{'}\ket{\psi _n^{(0)}}=H_{nn}^{'}$$

$$E_n^{(2)}=\sum_{m \ne n} \frac{|H_{mn}^{'}|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}$$

$$E_n^{(3)}=\sum_{m,m^{'}\ne n}\frac{H_{nm}^{'}H_{mm^{'}}^{'}H_{m^{'}n}^{'}}{(E_n^{(0)} - E_m^{(0)})(E_n^{(0)} - E_{m^{'}}^{(0)})} - \sum_{m \ne n}\frac{H_{nn}^{'}|H_{mn}^{'}|^2}{(E_n^{(0)} - E_m^{(0)})^2}$$

$$\psi _n^{(1)}=\sum_{m \ne n}\frac{H_{mn}^{'}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}\psi _m^{(0)}$$

2. 定态简并微扰论：写出H’在简并能级下的本征子空间的矩阵元后解一级近似方程就行了，二级近似方程懒得写，自己搜去吧。

3. 变分法：将试探波函数代入计算，并令其偏导为0，带回求基态的近似能量与近似波函数

$$E(\alpha)=\bra{\psi}\hat{H}\ket{\psi}，\frac{\partial E(\alpha)}{\partial \alpha}$$

4. 含时微扰：粒子跃迁的概率为：

$$W_{k\rarr m}(t)=\frac{1}{\hbar ^2}|\int_0^t H_{mk}^{'}e^{i \omega _{mk}t}dt|^2$$

其中

$$H_{mk}^{'}(t)=\bra{m}\hat{H^{'}}\ket{k},\omega _{mk}=\frac{E_m -E_k}{\hbar}$$

5. 黄金规则公式：

$$w=\frac{2\pi}{\hbar}|H_{mk}^{'}(E)|^2\rho (E)$$

其中

$$H_{mk}^{'}(E)=\bra{m}\hat{H^{'}}\ket{k}$$

6. 强度为I的连续光照原子发生跃迁的概率速率（电偶极近似）：

$$w_{k \rarr m}=\frac{4\pi ^2 e^2}{3\hbar ^2}I(|\omega _{mk}|)|r_{mk}|^2$$

其中

$$|r_{mk}|^2=|x_{mk}|^2 + |y_{mk}|^2 + |z_{mk}|^2$$

$$x_{mk}=\bra{m}x\ket{k},y_{mk}=\bra{m}y\ket{k},z_{mk}=\bra{m}z\ket{k}$$

电偶极跃迁选择定则：

$$\Delta l=\pm 1 ,\Delta m=0,\pm 1$$

7. 原子的自发跃迁速率为：

$$A_{k \rarr m}=\frac{4 e^2\omega _{km}^3}{3\hbar c^3}|r_{mk}|^2$$