三个常用坐标系下的坐标变换和体积元

1. 直角坐标系

 如图所示，空间中一点 $M(x,y,z)$ 位置由 $OM$ 在三个坐标轴上的投影值 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 表示，单位矢量 $\hat{x}$ 、$\hat{y}$、$\hat{z}$，分别表示三个方向，一个矢量 $A$ 可表示为：

$$\mathbf{A} = A_x\mathbf{\hat{x}} + A_y\mathbf{\hat{y}} + A_z\mathbf{\hat{z}}$$

$A$ 的大小为

$$|\mathbf{A}| = (A_x^2 + A_y2 + A_z^2)^{1/2}$$

积分用的体积元

$$dV=dxdydz$$

2. 圆柱坐标系

 如图所示，空间中一点 $M(\rho , \phi , z)$，$\rho$,$\phi$ 为点 $M$ 在 $Oxy$ 平面上的投影的极坐标 $M$ 到 $Oxy$ 平面的距离，圆柱坐标与直角坐标的互换公式为

$$\begin{cases} x=\rho\mathrm{cos}\phi, \\ y=\rho\mathrm{sin}\phi, \\ z=z, & \end{cases}\quad \begin{cases} \rho=\sqrt{x^2+y^2} \\ \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \\ \\ z=z & \end{cases}$$

一个矢量 $A$ 可表示为

$$\mathbf{A}=A_{\rho} \mathbf{\hat{\rho}} +A_{\phi} \mathbf{\hat{\phi}} +A_{z} \mathbf{\hat{z}}$$

式中，$\mathbf{\hat{\rho}}$ 、$\mathbf{\hat{\phi}}$ 、$\mathbf{\hat{z}}$ 是矢量 $\mathbf{A}$ 所在空间点的圆柱坐标的单位矢量。

积分用的柱面面积元

$$dS= \rho d \phi dz$$

积分用的体积元

$$dV=\rho d \rho d \phi dz$$

3. 球坐标系

 如图所示，空间中一点 $M(r , \phi , \theta)$，$r$ 为 $OM$ 的长度，$\phi$ 为经度，$\theta$ 为纬度。球坐标与直角坐标的互换公式为

$$\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi, \\ y=r\sin\theta\sin\phi, \\ z=r\cos\theta, & \end{cases} \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \phi=\arctan\frac{y}{x} \\ \theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} & \end{cases}$$

一个矢量 $A$ 可表示为

$$\mathbf{A}=A_{r} \mathbf{\hat{r}} +A_{\phi} \mathbf{\hat{\phi}} +A_{\theta} \mathbf{\hat{\theta}}$$

式中，$\mathbf{\hat{r}}$ 、$\mathbf{\hat{\phi}}$ 、$\mathbf{\hat{\theta}}$ 是矢量 $\mathbf{A}$ 所在空间点的球坐标的单位矢量。

积分用的球面面积元

$$dS=r^2 sin \theta d \theta d \phi$$

积分用的体积元

$$dV=r^2 sin \theta dr d\theta d\phi$$

立体角元

$$d\varOmega = \frac{dS}{r^2}=sin \theta d\theta d\phi$$

矢量代数运算公式

两个矢量的标量积（或称点积、内积）

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| cos \alpha$$

$\alpha$ 是矢量 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 之间的夹角。标量积又可表示为

$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x +A_y B_y+A_z B_z$$

两个矢量的矢量积（或称叉积、外积）

$$\begin{aligned} \mathbf{A}\times\mathbf{B}= & -\mathbf{B}\times\mathbf{A}= \begin{vmatrix} {\mathbf{\hat{x} } } & {\mathbf{\hat{y} } } & {\mathbf{\hat{z} } } \\ {A_{x} } & {A_{y} } & {A_{z} } \\ {B_{x} } & {B_{y} } & {B_{z} } \end{vmatrix} \\ & =(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\mathbf{\hat{x} }+(A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z})\mathbf{\hat{y} }+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\mathbf{\hat{z} }\end{aligned}$$

又有

$$|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=|\mathbf{A} | |\mathbf{B} |sin \alpha , \qquad (0\le \alpha \le \pi)$$

$\mathbf{A}$ 、$\mathbf{B}$ 与 $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ 三个矢量构成右手系，如图所示

三个矢量的混合积

$$\begin{aligned} \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})= & \left.\left| \begin{array} {ccc}{A_{x} } & {A_{y} } & {A_{z} } \\ {B_{x} } & {B_{y} } & {B_{z} } \\ {C_{x} } & {C_{y} } & {C_{z} } \end{array}\right.\right| \\ =A_{x}\left(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y}\right) & +A_{y}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z})+A_{z}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}) \\ =\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\mathbf{C}\times \mathbf{A}) \end{aligned}$$

混合积是一个数，它的绝对值等于以 $\mathbf{A}$ 、$\mathbf{B}$ 、 $\mathbf{C}$ 为边的平行六面体的体积。

三重矢积

$$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) =\mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})$$

在三种坐标系下的矢量分析常用公式

1. 直角坐标系

散度

$$\nabla\cdot \mathbf{A}=\mathrm{div} \mathbf{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$$

旋度

$$\begin{aligned} \mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}= & \operatorname{rot}\mathbf{A}= \begin{vmatrix} {\boldsymbol{\hat{x} } } & {\boldsymbol{\hat{y} } } & {\boldsymbol{\hat{z} } } \\ {\frac{\partial}{\partial x} } & {\frac{\partial}{\partial y} } & {\frac{\partial}{\partial z} } \\ {A_{x} } & {A_{y} } & {A_{z} } \end{vmatrix} \\ = & \left(\frac{\partial A_{z} }{\partial y}-\frac{\partial A_{y} }{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{x} }+\left(\frac{\partial A_{x} }{\partial z}-\frac{\partial A_{z} }{\partial x}\right)\boldsymbol{\hat{y} } +\left(\frac{\partial A_{y} }{\partial x}-\frac{\partial A_{x} }{\partial y}\right)\boldsymbol{\hat{z} }\end{aligned}$$

梯度

$$\nabla\Phi=\mathrm{grad}\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\boldsymbol{\hat{x} }+\frac{\partial\Phi}{\partial y}\boldsymbol{\hat{y} }+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z} }$$

拉普拉斯算符 $\nabla ^2 $ 运算

$$\nabla^{2} \Phi=\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}}$$

2. 圆柱坐标

散度

$$\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\rho})+\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}+\frac{\partial A_{z}}{\partial z}$$

旋度

$$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A} =\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{z} }{\partial\phi}-\frac{\partial A_{\phi} }{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{\rho}}+\left(\frac{\partial A_{\rho} }{\partial z}-\frac{\partial A_{z} }{\partial\rho}\right)\hat{\boldsymbol{\phi} }+\frac{1}{\rho}\left[\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho A_{\phi} )-\frac{\partial A_{\rho} }{\partial\phi}\right]\boldsymbol{\hat{z} }$$

梯度

$$\nabla\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial\rho}\hat{\boldsymbol{\rho} }+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\Phi}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi} }+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z} }$$

拉普拉斯算符 $\nabla ^2 $ 运算

$$\mathbf{\nabla}^{2} \Phi=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial\Phi}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^{2} }\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\phi^{2} }+\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2} }$$

3. 球坐标

散度

$$\nabla \cdot \mathbf{ A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}(r^{2}A_{r})+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\theta}\mathrm{sin}\theta)+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial\phi}$$

旋度

$$\mathbf{\nabla}\times\mathbf{A}= \frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(A_{\phi}\mathrm{sin}\theta)-\frac{\partial A_{\theta} }{\partial\phi}\right]\boldsymbol{\hat{r} }+\frac{1}{r}\left[\frac{1}{\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial A_{r} }{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\phi})\right]\boldsymbol{\hat{\theta} } +\frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(rA_{\theta})-\frac{\partial A_{r} }{\partial\theta}\right]\hat{\boldsymbol{\phi} }$$

梯度

$$\nabla\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial r}\boldsymbol{\hat{r} }+\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\boldsymbol{\hat{\theta} }+\frac{1}{r\mathrm{sin}\theta}\frac{\partial\Phi}{\partial\phi}\boldsymbol{\hat{\phi} }$$

拉普拉斯算符 $\nabla ^2 $ 运算

$$\mathbf{\nabla}^{2}\Phi= \frac{1}{r^{2} }\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial\Phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\phi^{2} }$$

4. $\nabla$ 算符的运算公式

  $f$ 和 $g$ 是空间位置的标量函数，$\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是空间位置的矢量函数，则有

$$\begin{gathered} \nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g \\ \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\cdot \mathbf{A}+\nabla\cdot \mathbf{B} \\ \nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times \mathbf{A}+\nabla\times \mathbf{B} \\ \nabla(fg)=(\nabla f)g+f(\nabla g) \\ \nabla\cdot(f\mathbf{A})=(\nabla f)\cdot \mathbf{A}+f(\nabla\cdot \mathbf{A}) \\ \nabla\times(f\mathbf{A})=(\nabla f)\times\mathbf{A}+f(\nabla\times\mathbf{A}) \\ \nabla(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{B}\times(\nabla\times \mathbf{A})+(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+\mathbf{A}\times(\nabla\times \mathbf{B}) \\ \nabla\cdot(\mathbf{A}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times \mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times \mathbf{B}) \\ \nabla\times(\mathbf{A}\times \mathbf{B})=(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}(\nabla\cdot \mathbf{B})-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}-\mathbf{B}(\nabla\cdot \mathbf{A}) \\ \nabla\times(\nabla f)=0 \\ \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0 \\ \nabla\cdot(\nabla f)=\nabla^{2}f \end{gathered}$$

矢量积分的两个公式

1. 高斯公式

$$\oint_{S}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\mathrm{d}V$$

式中，$V$ 为闭合面 $S$ 所围的体积

2. 斯托克斯公式

$$\oint_L\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\iint_S(\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}$$

参考书籍：《电磁学与电动力学》上册附录 $IV$ ————胡友秋 【科学出版社】（基本上照着抄的属于是）